Курс актёров кукольного театра при Музыкальном училище им. Гнесиных был набран в 1974 году, занятия проходили в здании ГЦТК. После окончания учёбы в 1977 году студенты полным составом вошли в  ансамбль «Люди и куклы», руководителем которого стал Леонид Хаит. Ансамбль работал при Кемеровской филармонии и выступал с концертами по всей Сибири. Не все участники выдержали работу в бесконечных разъездах. В 1979 году Анатолий Вещиков вернулся в Москву и на сцену ГЦТК. Его сразу ввели в репертуар: Удав Устин в «Таинственном гиппопотаме» (1974) , Брателло и Чёрт в «Дон Жуане» (1975), а также Коршун в «Сказке о царе Салтане» (1974) – в этой роли артисты совмещали кукол и игру в «живом плане». И, конечно же, роли в спектаклях «золотого фонда»: Гадатель в «Волшебной лампе Аладдина», Архангел в «Божественном комедии», партии в «Нашей Чукоккале» (1973) и «Необыкновенном концерте». Многие  роли Анатолий Иванович  играет по сей день.

Играя роли в классических спектаклях Театра Образцова, Вещиков не забывал о театральных экспериментах. Вместе с коллегами  Юрием Калинниковым и Александрой Горбуновой он сыграл в спектакле «Отелло», который поставил режиссёр Владимир Кусов. В 1982 году этот спектакль, в котором на глазах у зрителей оживали предметы, получил диплом Фестиваля кукольных миниатюр для взрослых в болгарском городе Пловдив.

С приходом в Театр Екатерины Михайловны Образцовой началась новая эпоха для Анатолия Вещикова. Опытный режиссёр и кукловод, он стал вторым режиссёром в спектаклях Екатерины Михайловны. «Пиковая Дама» (1999), «Братец Кролик» (2003), «Ночь перед Рождеством» (2004), «Винни по прозвищу Пух» (2006), «Большое путешествие» (2011) – во всех этих спектаклях сценическим движением кукол занимался Анатолий Иванович. Он сыграл Молодого Чёрта в «Ночи перед Рождеством», Короля Лилипутов в «Путешествии Гулливера», затейливые кукольные партии в «Большом путешествии».